Представление чисел в компьютере

Целые числа в  компьютере.

Вся информация, обрабатываемая современными компьютерами, хранится в них в двоичном виде. Каждая ячейка памяти компьютера состоит из некоторого числа однородных элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый элемент ячейки служит для изображения одного разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом.

Знаковое представление чисел в компьютере.

Для человека привычна запись числа в виде «знак-величина». Чтобы и в компьютере представлять числа в привычном для человека виде, необходимо самый левый разряд ячейки отвести для записи знака числа. При записи положительного числа в самый левый разряд ячейки, который называется знаковым, записывается 0, при записи отрицательного числа 1. То есть при знаковом представлении чисел 0 в самом левом разряде ячейки соответствует знаку плюс, а единица – знаку минус. Очевидно, что модуль числа можно записывать только в оставшихся k – 1 разрядах. Такое представление чисел называется прямым кодом.
Прямой код положительного числа отличается от прямого кода такого же по модуля отрицательного числа только содержанием знакового разряда. Однако для представления отрицательных чисел в компьютере используется дополнительный код(см. ниже).
В k-разрядной ячейке при представлении целых знаковых чисел умещаются числа [-2^{k –1}, 2^k–1–1]. Например, для 8-разрядной ячейки это диапазон [-128, 127]. Таким образом, при программировании нужно помнить о том, что:

• количество представимых чисел в k разрядах ограничено и зависит от k;
• диапазон знаковых чисел, представимых в k-разрядной ячейке, не симметричен относительно 0. 

Запишем максимальные и минимальные числа, которые можно записать в 8, 16 и 32 разрядах при знаковом представлении.

Количество разрядов	Минимальное число	Максимальное число
8	–27 = –128	27 – 1 = 127
16	–215 = –32768	215 – 1 = 32767
32	–231 = –2147483648	231 – 1 = 2147483647

Беззнаковое представление положительных целых чисел в компьютере.

Так как в компьютере все данные хранятся в двоичном виде, то чтобы получить представление целого положительного числа в компьютере, сначала это число необходимо перевести в двоичную систему счисления. Если двоичное число состоит не более чем из k цифр, то это число можно записать в k-разрядной ячейке памяти, дополнив нулями слева до k разрядов.

Очевидно, что самое большое целое положительное число, которое мы можем записать в k разрядах, состоит из единиц во всех разрядах ячейки. Если перевести это число в десятичную систему счисления, то оно равно 2^k – 1. Минимальное число состоит из нулей во всех разрядах и равно 0.

Запишем максимальные числа, которые можно вместить в 8, 16, 32 разрядах.

Количество разрядов	Максимальное число
8	28 – 1 = 255
16	216 – 1 = 65535
32	232 – 1 = 4294967295

Алгоритм построения дополнительного кода.

В k-разрядной целочисленной компьютерной арифметике 2^k = 0, так как единица в самом старшем разряде числа 2^k должна стоять в k+1 разряде и следовательно, «выползает» за границы ячейки. Дополнительный код отрицательного числа, записанный в k-разрядной ячейке, заменяет это отрицательное число на дополнение его модуля до числа 2^k. То есть дополнительный код отрицательного числа m равен 2^k – |m|. Такая замена позволяет заменить операцию вычитания чисел на операцию сложения. Действительно, если в 8-разрядной ячейке сложить числа 5 и –6, где вместо –6 написано число (2⁸ – 6), то получится 5 + (2⁸ – 6) = 2⁸ – 1, что будет соответствовать записи числа –1.
Поэтому для k-разрядной ячейки дополнительный код отрицательного числа можно получить следующим образом:

1. Модуль числа представляется прямым кодом в k разрядах.
2. В прямом коде все нули заменяются на единицы, а единицы – на нули. Таким образом получаем обратный код.
3. К полученному обратному коду прибавляется единица. 

Алгоритм получения числа по дополнительному коду.

1. Провести обратную цепочку преобразований: вычесть единицу из дополнительного кода числа, инвертировать полученный результат и перевести его в десятичную систему счисления.
2. Построить дополнительный код для имеющегося дополнительного кода и перевести результат в десятичную систему счисления.